1 Revisão

1.1 Fenômenos

Fenômenos são acontecimentos observáveis. Tem-se dois tipos de fenômenos:

Determinístico

Sob certas condições de regularidade, o resultado, é previsível.

Ex: Ferver água, por exemplo, sabe-se que quando aquecida a 100ºC, sobre pressão normal, entre em ebulição.

Aleátorio

Os resultados são imprevisíveis.

Ex: Lançamento de um dado, não sabemos que número vai sair.

Aqui, neste curso de processos estocásticos estaremos interessandos no segundo tipo de evento (aleátorio), onde por meio de probabilidade podemos ter uma ideia do comportamento/resultado futuro.

A seguir algumas definições de probabilidade que serão utilizadas ao decorrer do curso.

1.2 Definições de Probabilidade

DEF 1.1 Dado um experimento aleátorio $\varepsilon$, chamamos de espaço amostral o conjunto (não vazio) de todos os resultados possíveis ($\Omega$). O conjunto de todos os objetos aos quais poderemos atribuir uma probabilidade é chamado de $\sigma$-álgebra. No caso do $\Omega$ finito (ou enumerável) a sigma-álgebra será o conjunto das partes de $\Omega$ (Conjunto potência).

Exemplo 1.1 Lançamento de uma moeda uma vez.
A = P($\Omega$) = ({c},{k}, $\Omega$, $\phi$)

Exemplo 1.2 Lançamento de um dado.
F = P($\Omega$) = {{1},{2},…,{1,2},{1,3}, …,{1,2,3},…,$\Omega$,$\phi$}

Para intervalos contínuos $\sigma$-álgebra de Bórel.

F = $\beta_{[0,1)}$ => $\sigma$-álgebra de Bórel

DEF 1.2 (Definição Clássica) P(A) = $\frac{\#A}{\#\Omega}$
Utiliza-se quando os pontos são equiprovaveis.

DEF 1.3 (Definição Geométrica) P(A) = $\frac{compr(A)}{compr(\Omega)}$

DEF 1.4 (Definição Frequentista) P(A) = $\frac{A}{N}$

DEF 1.5 (Definição de Probabilidade) Uma medidade de probabilidade P como uma função de $\Omega$ em $\mathbb{R}$ tal que:

P(A) $\leq$ 0, $\forall$ A $\in$ F (existe um evento pelo menos)
P($\Omega$) = 1
P($\cup_i A_i$) = $\sum_i P(A_i)$, se os Ai’s são dijuntos

DEF 1.6 (Espaço de Probabilidade) ($\Omega$,F,P)

Um espaço de probabilidade como o trio ($\Omega$,F,P) - (Espaço amostral, $\sigma$-álgebra, medidade de probabilidade)

DEF 1.7 (Probabilidade Condicional) Dados A e B $\in$ F: P(A|B) = , P(B) > 0

Para duas variáveis aleátorias X, Y $\in$ ($\Omega,F,P$)

\[P(X \in B_1 | Y \in B_2) = \frac{P(X \in B_1,Y \in B_2)}{P(Y \in B_2)}\]

para $B_1$, $B_2$ bolineanos e P(Y $\in$ $B_2$) > 0.

Exemplo 1.3 (Exemplo de Probabilidade Condicional) Sejam X e Y va’s no mesmo espaço parâmetrico. Tais que X~Poi($\lambda_1$) e Y~Poi($\lambda_2$). Defini-se Z = X + Y. Encontrar a distribuição de X|Z, sabendo que X é independente de Y.

\[P(X $\in$ B_1| Z \in B_2$)\]

Como X e Y são discretas, podemos considerar somente os bolineanos $B_1$= {x} e $B_2$ = {z} temos assim:

P(X = x|Z=z) = P(X=x|X+Y=z) = $\frac{P(X=x,X+Y==z)}{P(X+Y=z)}$ = $\frac{P(X=x,Y=z-x)}{P(X+Y=z)}$ = $\frac{P(X=x)P(Y=z-x)}{P(X+Y=z)}$

Sabemos que se X ~ Poi($\lambda_1$) e Y ~ Poi($\lambda_2$), X independente de Y, então X + Y ~ Poi ($\lambda_1 + \lambda_2$).

P(X=x|X + Y =z) = $\large \frac{\frac{e^{-\lambda x} \lambda_1^x}{x!} \frac{e^{-\lambda_2 } \lambda_2^{z-x}}{(z-x)!}}{\frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)z} (\lambda_1 + \lambda_2)^z}{z!}} = \frac{z! \lambda_1^x \lambda_2^{z-x}}{x!(z-x)! \frac{(\lambda_1 + \lambda_2)^z}{(\lambda_1 + \lambda_2)^x (\lambda_1 + \lambda_2)^{z-x}}} = \binom{z}{x} \binom{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2}^x \binom{\lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2}^{z-x}$

Temos então:

\[X|X+Y = z \sim Bin(z,\frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2})\]