9 Processo de Poisson
Veremos a seguir um dos principais processos a tempo continuo que aparece nas mais diversas áreas. Seja t o tempo para o processo aleatorio, começando em t =0. Suponha que eventos de um tipo particular ocorrem em instantes aleatorios de tempo, digamos \(t_1\), \(t_2\) …
Defina \(T_i\) = \(t_i - t_{i-1}\), t \(\geq\) 1 os instantes são chamados de tempos de ocorrência dos eventos e as va’s \(T_i\) são chamadas de tempos entre ocorrencias (interocorrencias).
NOTAÇÃO: X(t+s) - X(s) ~ Poisson (\(\lambda\) t)
O número \(\lambda\) é chamado de taxa do processo. Como \(\lambda\) é constante no tempo, esse processo de Poisson também é chamado de processo de Poisson homogenico de taxa \(\lambda\).
Seja X(t) um PP de taxa \(\lambda\)t, ou seja, um processo de Poisson não é um processo estocastico.
Calculando a variância.
NOTAR QUE: \(K_x(t,t) = cov[X(t)X(t)]=Var[X(t)]=\lambda t\)
Seja 0 < s < t:
\[\begin{equation} \begin{split} K_x &= cov[X(s),X(t)]\\ &= cov[X(s),(X(t) - X(s) + X(s))]\\ &= cov[X(s), X(t) - X(s)] + cov[X(s),X(s)]\\ &= 0 + \lambda s\\ &= \lambda s \end{split} \end{equation}\]Como \(K_x(s,t)\) não depende da diferença (s-t), então confirmamos que o processo de Poisson não pode ser fracamente estacionario ou estacionario de 2ª ordem. Existe uma transformação do PP que é estacionaria.
Exemplo 9.1 Seja X(t) em PP() é definada por: \(Y(t) = X(t+1) - X(t), t \geq 0\)
E[Y(t)] = E[X(t+1) - X(t)] = E[X(t+1)] - E[X(t)] = \(\lambda(t+1-t)= \lambda\)
Suponha que s \(\leq\) t \(\leq\) s + 1 \[\begin{equation} \begin{split} K_y(s,t) &= cov[Y(s),Y(t)]\\ &= cov[X(s+1)- X(s), X(t+1) - X(t)]\\ &= cov[X(s+1), X(t+1)] - cov[X(s+1), X(t)] - cov[X(s), X(t+1)] + cov[X(s),X(t)]\\ \end{split} \end{equation}\]