2 Processo Estocástico
2.1 O que é um Processo?
Processo é um termo que indica a ação de avançar, de ir para frente. É um conjunto sequencial de ações com objetivo comum.
Exemplos são: fabricas que produzem coca-cola por exemplo, onde existe esteiras que vão levando latas de aluminio, que são pintadas, preenchidas com liquido, lacradas, pressurizadas etc…
2.2 Processos Estocásticos
\[{X(t), t \in T} \text{ ou } {X_t, t \in T}\]
\(t_{fixo} \rightarrow\) va X(t)
\(w_{fixo} \rightarrow\) função real (chamada tragetoria do processo)
O conjunto de todas as trágetorias é chamado “ensemble”.
A descrição completa de um processo estocástico pode ser extremamente complexo, mas em certos processos uma estrutura de probabilidade adequada pode facilitar tal descrição.
O conjunto T será chamado de espaço de parâmetros. Geralmente o índice t será identificado como ‘tempo’. O conjunto S no qual a va assume valores será chamado espaço de estados.
Exemplo 2.1 No experimento do lançamento da moeda.
{\(X_n\), n=1,…,24}, sendo \(X_n\) uma va dicotômica em que S = {-1,1}, T = {1,2,…,24}
Também definimos o processo {\(G_n\),n=0,…,24}.
Logo o resultado teriamos então.
T = {0,1,2,…,24} e S = {-20,-19,…,0,1,…28}
Notar que na verdade, por se tratar de uma va existe uma dependência com o espaço amostral \(\Omega\), isto é, deveriamos escrever X(w,n), mas por simplicidade vamos escrever apenas X(n) ou \(X_n\).2.3 Espaços T e S
Dependendo da natureza dos espaços T e S temos, quatro casos a saber:
2.3.1 T discreto e S discreto
Temos um PE discreto a tempo discreto
Exemplo 2.2 Exemplo da moeda
{Gn, n \(\in\) T} sendo T = {0,1,2,…,24} e S = {-20,…,28}2.3.2 T é contínuo e S discreto
Temos um PE discreto e o tempo contínuo.
Exemplo 2.3 {\(X_t\), t \(\in\) T} onde \(X_t\) nº de carros que passaram num pedagio até o instante t.
T = [0, +\(\infty\)]
S = {0,1,2,3,4,….}2.3.3 T discreto e S contínuo
Temos um PE contínuo e o tempo discreto.
Exemplo 2.4 {\(X_t\), t \(\in\) T} A pressão diastolica de n-eisimo individuo.
T: {1,2,3,…,N} S: {0,+\(\infty\)}2.3.4 T contínuo e S contínuo
Temos um PE contínuo a tempo contínuo
Exemplo 2.5 {\(X_t\), t \(\in\) T} voltagem na rede no instante t
T = (0,+\(\infty\))
S = (0,+\(\infty\))2.4 Descrição probabilística
Considere um PE {\(X_t\), t \(\in\) T}. Para \(t_1\) fixo, X(\(t_1\)) é uma va com função distribuição.
\[F_x(x_1,t_1) = P(X(t_1) \leq x_1) \rightarrow \text{ distribuicao de 1 ordem de X(t)}\]
Para \(t_1\) e \(t_2\) fixos, temos que:
\[F_x(x_1,x_2;t_1,t_2) = P(X(t_1) \leq x_1, x(t_2) \leq x_2) \rightarrow \text{ distribuicao de 2 ordem de X(t)}\]
Em geral,
\[F_x(x_1,x_2,...,x_n;t_1,t_2,...,t_n) = P(X(t_1) \leq x_1, X(t_2) \leq x_2, ..., X(t_n) \leq x_n)\]
\(X(t_1) \in (-\infty,x_1], X(t_2) \in (\infty,x_2],...\)
Distribuição da n-esima ordem de X(t).
Se as va’s X(\(t_i\)) com i = 1,…,\(\mu\) fossem discretas, podemos escrever:
\(P_x(x_1,x_2,...,x_n;t_1,...,t_n) = P(X(t_1)=x_1,...,X(t_n)=x_n)\)
- Se \(X(t)\) é um PE a tempo continuo podemos escrever:
\(f_x(x_1,...,x_n;t_1,...,t_n) = \frac{\partial^n F_x}{\partial x_1,...,\partial x_n}\)
A descrição completa precisaria calcular todas as distribuições de X (distribuições-finita-dimensionalidades) o que seria muito dificil. Felizmente, em determinados casos, é necessário calcular a penas as duas primeiras distribuições ??? (momentos).
2.5 Média, variância e covariância
DEF 2.2 A função média de um PE {X(t), t \(\in\) T}:
\[\mu_x(t)=E[X(t)]\]DEF 2.3 A função variância do processo X:
\[\sigma^2_x(t) = var[X(t)]\]DEF 2.4 A função covariância do PE X = {X(t),t \(\in\) T}:
\[K_x(s,t) = cov[X(s),X(t)] = E[X(s),X(t)] - \mu_x(s) \mu_x(t)\]DEF 2.5 A função de autocorrelação:
\[R_x(s,t)=E[X(s),X(t)] - \mu_x(s) \mu_x(t)\]Exemplo 2.6 Seja o PE X(t) = \(Z_1\) + \(Z_2\) sendo \(Z_1\), \(Z_2\) iid N(0,1)
\[\begin{equation} \begin{split} \mu_x(t) &= E[X(t)]\\ &= E[Z_1 cos \lambda t + Z_2 sen \lambda t]\\ &= \underbrace{E[Z_1]}_0 cos \lambda t + E[Z_2] sen \lambda t \\ &=0 \end{split} \end{equation}\] \[\begin{equation} \begin{split} K_x(s,t)=cov[X(s),X(t)] &= cov[{Z_1 cos \lambda s + Z_2 sen \lambda s}, {Z_1 cos \lambda t + Z_2 sen \lambda t}] \\ &= cov(Z_1 cos \lambda s, Z_1 cos \lambda t) + cov(Z_1 cos \lambda s, Z_2 sen \lambda t) + cov(Z_2 sen \lambda s, Z_1 cos \lambda t) + cov(Z_2 sen \lambda s, Z_2 sen \lambda t) \\ &= cos \lambda s . cos \lambda t . cov(Z_1,Z_2) + cov \lambda s. sen \lambda t . cov(Z_1,Z_2) + sen \lambda s . cos \lambda t . cov(Z_2,Z_1) + sen \lambda s . sen \lambda t . cov(Z_2,Z_2)\\ &= cos \lambda s . cos \lambda t + sen \lambda s . sen \lambda t \\ &= cos(\lambda s - \lambda t)\\ &= cos[\lambda(s-t)] \end{split} \end{equation}\]