7 Distribuição estacionária de uma CM
Exemplo 7.1 Seja {\(X_n\), n \(\geq\) 0} uma CM com dois estados tais que:
\[\begin{equation} P = \begin{bmatrix} 1/3 & 2/3 \\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix} \end{equation}\]Temos que \(P^2\) é:
\[\begin{equation} P^2 = \begin{bmatrix} 4/9 & 5/9 \\ 5/12 & 7/12 \end{bmatrix} \end{equation}\]\(P^4\)
\[\begin{equation} P^4 = \begin{bmatrix} 139/324 & 185/324 \\ 185/432 & 247/432 \end{bmatrix} \end{equation}\]Intuimos que a matriz \(P^n\) \(\approx\) \(P^8\), n > 8. Isto mostra que para n suficientemente grande a distribuição da cadeia (prob de transição) tende a estabilizar em determinados valores para todos os estados, ou seja, as linhas da matriz \(P^n\) tendem a se igualar.
7.1 Distribuição Estacionária de uma CM.
Uma pergunta interessante é saber o que acontece com a matriz \(P^n\), para n suficientemente grande. isso tem a ver com a chamada distribuição estacionária, ou de equilibrio.
Matricialmente a condição para ser DE (distribuição estacionária)
\[\Pi P = \Pi\]
sendo que \(\Pi\) é um vetor de probabilidades e P a matriz de transição.
Exemplo 7.2
Para P, consideramos \(\Pi = (\Pi(0),\Pi(1))\)
\[\begin{equation} P = \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 \\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix} \end{equation}\]Temos que:
\[\begin{equation} (\Pi(0),\Pi(1)) \begin{bmatrix} 1/3 & 2/3 \\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix} = (\Pi(0),\Pi(1)) \end{equation}\]I. \(\frac{\Pi_0}{3} + \frac{\Pi_1}{2} = \Pi_0\)
\(\frac{2\Pi_0}{3} + \frac{prod_1}{2} = \Pi_1\)
\(\frac{\Pi_0 + \Pi_1} = 1\)
A III eq foi acrescentada por que sabemos que a soma das duas probabilidades \(\Pi\) tem que resultar em 1. Assim o sistema de equações agora tem solução.
I em III
\(\Pi_0 + \frac{4}{3} \Pi_0 = 1 => \Pi_0 = \frac{3}{7}\)
e
\(\Pi_1 = \frac{4}{7}\)
Quando temos uma cadeia com infinitos estados, não é possível resolver o sistema \(\Pi P = \Pi\) para obter a distribuição estacionária.
No caso particular de C-N-M é possível encontrar a DE.
Considere uma cadeia de nascimento e morte sobre {0,1,2…} ou sobre {0,1,2,3,4,…,d}, tal que:
\[\begin{equation} \begin{matrix} p_x > 0 &, p/ 0 \leq x \leq d \\ q_x > 0 &, p/ 0 \leq x \leq d \end{matrix} \end{equation}\]A condição de estcionariedade é: \(\sum_x \Pi(x) P(x,y)= \Pi(x,y)\)
Isto é:
y = 0
\[\begin{equation} \begin{split} \sum_x \Pi(x)P(x,0) &= \Pi(0)\\ \Pi(0)P(0,0) + \Pi(1) P(1,0) + \Pi(2) P(2,0)... &= \Pi(0)\\ \Pi(0)r_0 + q_1\Pi(1) + 0 + 0 + 0 ... &= \Pi(0)\\ q_1 \Pi(1) + \Pi(0)[r_0 -1] &= 0\\ q_1\Pi(1) - \Pi(0)p_0 &= 0\\ \Pi(1) &= \frac{p_0}{q_1} \Pi(0) \end{split} \end{equation}\]Para qualquer y: \(\sum_x \Pi(x) P(x,y) = \Pi(y)\)
\[\Pi(y-1)P(y-1,y) + \Pi(y)P(y,y) + \Pi(y+1) P(y+1,y) = \Pi(y)\]
y = 1
\[\begin{equation} \begin{split} P_0 \Pi(0) + r_1 \Pi(1) + q_2 \Pi(2) &= \Pi(1)\\ q_2\Pi(2) &= (1 - r_1) \Pi(1) - p_0\Pi(0)\\ q_2\Pi(2) &= (p_1 + q_1) \Pi(1) - p_0\Pi(0)\\ q_2\Pi(2) &= (p_1 + q_1) \frac{p_0}{q_1} \Pi(0) - p_0\Pi(0)\\ q_2\Pi(2) &= \Pi(0)[\frac{p_1p_0}{q_1} + p_0 - p_0]\\ \Pi(2) &= \frac{p_1 p_0}{q_1 q_2} \Pi(0) \end{split} \end{equation}\]Em geral
\[\Pi(x) = \frac{p_0 p_1 ... p_{x-1}}{q_1 q_2 ... q_x} \Pi(x)\]
Define-se
\[\begin{equation} \alpha\left\{\begin{matrix} 1 &, x = 0 \\ \frac{p_0 p_1 ... p_{x-1}}{q_1 q_2 ... q_x} \Pi(x) & x \geq 0 \end{matrix}\right. \end{equation}\]Assim, \(\Pi(x)\) = \(\alpha_x \Pi(0)\), \(x \geq 0\)
Somando em ambos os lados
\[\sum_x \Pi(x) = \sum_x \alpha_x \Pi(0)\]
\[1 = \Pi(0) \sum_x \alpha_x\]
Logo:
\[\Pi(0) = \frac{1}{\sum_{x=0}^{\infty} \alpha_x}\]
Se \(\sum_{x=0}^{\infty} \alpha_x < \infty\), então existe uma DE que será dada por:
\[\Pi(x) = \frac{\alpha_x}{\sum_{x=0}^{\infty}\alpha_x}\]
OBS: Isto para uma C-N-M