8 Distribuição estacionária de uma CM
8.1 Método de Decomposição Especial
Para encontrar a matriz \(P^n\) no caso de dois estados.
Seja
\[\begin{equation} P = \begin{bmatrix} 1 - a & a \\ b & 1-b \end{bmatrix} \end{equation}\]0 < a < 1, 0 < b < 1.
\(P^n\) = \(\lambda_1^n E_1 + \lambda_2^n E_2\), sendo \(\lambda_1\) e \(\lambda_2\) os autovalores da equação caracteristica.
\[det(\lambda I-P) = 0\]
I identidade
As matrizes \(E_1\) e \(E_2\) são dadas por:
\[E_1 = \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} [P - \lambda_2I]\]
\[E_2 = \frac{1}{\lambda_2 - \lambda_1} [P - \lambda_1I]\]
8.2 DE p/ C-N-M
\[\pi(x)= \frac{\alpha x}{\sum_{y=0} \alpha_y}, x \geq 0\]
\[\begin{equation} \alpha_x = \left\{\begin{matrix} 1 &, x =0 \\ \frac{p_0...p_{x-1}}{q_1...q_x} &, x \geq 1 \end{matrix}\right. \end{equation}\]8.3 Cadeia de Ehrenfest Modificada
Tem-se d bolas numeradas e duas caixas (I e II). Inicialmente m bolas são distribuidas de forma aleatoria nas duas caixas. Seleciona-se um número inteiro entre 1 e d, retira-se a correspondente a esse número e logo recoloca-se numa das caixas selecionadas aleatoriamente. O interesse é o número de bolas na caixa I.
Seja \(X_n\): o nº de bolas na caixa I, após o n-esimo sorteio. Então, {\(X_n\), n \(\geq\) 0} será uma CM sobre S = {0,1,…,d}.
No caso de d = 3, temos que:
\(p_0\) = 1/2 \(p_1\) = 1/3 \(p_2\) = 1/6\(q_1\) = 1/6 \(q_2\) = 1/3 \(q_3\) = 1/2
\[\begin{equation} P = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 & 0 & 0 \\ 1/6 & 3/6 & 1/6 & 0\\ 0 & 2/6 & 3/6 & 1/6\\ 0 & 0 & 1/2 & 1/2 \end{bmatrix} \end{equation}\]
\(\alpha_0=1\) \(\alpha_1= \frac{p_0}{p_1} = \frac{1/2}{1/6}=3\)
\(\alpha_2=\frac{p_0p_1}{q_1q_2}=\frac{1/2 x 1/3}{1/6 x 1/3} = 3\)
\(\alpha_3=\frac{p_0p_1p_2}{q_1q_2q_3}=\frac{1/2 x 1/3 x 1/6}{1/2 x 1/3 x 1/2}= \frac{3 x 1/6}{1/2}\)
\(\alpha_3=1\)
\(\sum_{y=0}^3 \alpha_y = \alpha_0 + \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8\)
\(\pi(0) = \frac{\alpha_0}{\sum \alpha_y} = 1/8\) \(\pi(1) = \frac{3}{\sum \alpha_y}=\frac{3}{8}\)
\(\pi(2)=3/8\) \(\pi(3)=1/8\)
\(\pi\) = (1/8,3/8,3/8,1/8)$
Seja \(N_n(y)\) o número de visitas da cadeia no estado y durante os tempos m = 1,…,n. Denotado por Gn(x,y) o valo esperado da VA. Nn(y), quando a cadeia come em x, isto é:
\[Gn (x,y) = E_x(Nn(y))\]
Quando y é transiente, o limite Nn(y) < \(\infty\). Seja y recorrente e consideremos my = \(E_y\)(\(T_y\)) (tempo medio de retorno em y)
Caso contrario (ie, se my < \(\infty\)) o estado será chamado recorrente positivo.
Se, x \(\leftrightarrow\) y (se comunica com) y tambem será recorrente positivo.
\[\pi(x) = \frac{1}{m\alpha}, \alpha \in S\]