8 Distribuição estacionária de uma CM

8.1 Método de Decomposição Especial

Para encontrar a matriz \(P^n\) no caso de dois estados.

Seja

\[\begin{equation} P = \begin{bmatrix} 1 - a & a \\ b & 1-b \end{bmatrix} \end{equation}\]

0 < a < 1, 0 < b < 1.

\(P^n\) = \(\lambda_1^n E_1 + \lambda_2^n E_2\), sendo \(\lambda_1\) e \(\lambda_2\) os autovalores da equação caracteristica.

\[det(\lambda I-P) = 0\]

I identidade

As matrizes \(E_1\) e \(E_2\) são dadas por:

\[E_1 = \frac{1}{\lambda_1 - \lambda_2} [P - \lambda_2I]\]

\[E_2 = \frac{1}{\lambda_2 - \lambda_1} [P - \lambda_1I]\]

8.2 DE p/ C-N-M

\[\pi(x)= \frac{\alpha x}{\sum_{y=0} \alpha_y}, x \geq 0\]

\[\begin{equation} \alpha_x = \left\{\begin{matrix} 1 &, x =0 \\ \frac{p_0...p_{x-1}}{q_1...q_x} &, x \geq 1 \end{matrix}\right. \end{equation}\]

8.3 Cadeia de Ehrenfest Modificada

Tem-se d bolas numeradas e duas caixas (I e II). Inicialmente m bolas são distribuidas de forma aleatoria nas duas caixas. Seleciona-se um número inteiro entre 1 e d, retira-se a correspondente a esse número e logo recoloca-se numa das caixas selecionadas aleatoriamente. O interesse é o número de bolas na caixa I.

Seja \(X_n\): o nº de bolas na caixa I, após o n-esimo sorteio. Então, {\(X_n\), n \(\geq\) 0} será uma CM sobre S = {0,1,…,d}.

No caso de d = 3, temos que:

\(p_0\) = 1/2 \(p_1\) = 1/3 \(p_2\) = 1/6
\(q_1\) = 1/6 \(q_2\) = 1/3 \(q_3\) = 1/2
\[\begin{equation} P = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 & 0 & 0 \\ 1/6 & 3/6 & 1/6 & 0\\ 0 & 2/6 & 3/6 & 1/6\\ 0 & 0 & 1/2 & 1/2 \end{bmatrix} \end{equation}\]

\(\alpha_0=1\) \(\alpha_1= \frac{p_0}{p_1} = \frac{1/2}{1/6}=3\)
\(\alpha_2=\frac{p_0p_1}{q_1q_2}=\frac{1/2 x 1/3}{1/6 x 1/3} = 3\)
\(\alpha_3=\frac{p_0p_1p_2}{q_1q_2q_3}=\frac{1/2 x 1/3 x 1/6}{1/2 x 1/3 x 1/2}= \frac{3 x 1/6}{1/2}\)
\(\alpha_3=1\)

\(\sum_{y=0}^3 \alpha_y = \alpha_0 + \alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8\)

\(\pi(0) = \frac{\alpha_0}{\sum \alpha_y} = 1/8\) \(\pi(1) = \frac{3}{\sum \alpha_y}=\frac{3}{8}\)
\(\pi(2)=3/8\) \(\pi(3)=1/8\)

\(\pi\) = (1/8,3/8,3/8,1/8)$

Seja \(N_n(y)\) o número de visitas da cadeia no estado y durante os tempos m = 1,…,n. Denotado por Gn(x,y) o valo esperado da VA. Nn(y), quando a cadeia come em x, isto é:

\[Gn (x,y) = E_x(Nn(y))\]

Quando y é transiente, o limite Nn(y) < \(\infty\). Seja y recorrente e consideremos my = \(E_y\)(\(T_y\)) (tempo medio de retorno em y)

DEF 8.1 Um estado recorrente será chamado recorrente nulo se my = \(\infty\)
Caso contrario (ie, se my < \(\infty\)) o estado será chamado recorrente positivo.

Teorema 8.1 Seja x recorrente positivo.
Se, x \(\leftrightarrow\) y (se comunica com) y tambem será recorrente positivo.

Teorema 8.2 Seja C um conjunto de estados fechados, finitos e irredutivel, então todo estado em C, será recorrente positivo.

Corolário 8.1 Uma CM, irredutivel com S finito, é recorrente

Corolário 8.2 Uma CM, com S finito não possui estados recorrentes nulos.

Teorema 8.3 Uma CM irredutivel de estados recorrentes positivos possui uma unica distribuição estacionaria dada por:
\[\pi(x) = \frac{1}{m\alpha}, \alpha \in S\]

Teorema 8.4 Uma CM irredutivel é recorrente positiva, se e somente se, ela possui uma distribuição estacionária.

Corolário 8.3 Se uma CM com S finito é irredutivel, então ela possui uma unica distribuição estacionária.

Corolário 8.4 i. Se \(S_{RP}\) é vazio (\(S_{RP} = \phi\)), então não existe distribuição estacionária. ii. Se \(S_{RP}\) \(\neq\) 0 e irredutivel, então, existe uma unica distribuição estacionaria. iii. Se \(S_{RP}\) \(\neq\) 0 e ele não é irredutivel, então existem infinitas distribuições estacionarias.