10 Processos Gaussianos

DEF 10.1 Um PE, {X(t, t \(\in\) T)} é chamado Gaussiano se qualquer combinação linear finita das va’s X(t), possui uma distribuição normal. Isto é, \[\sum_i \alpha_i X(t_i)~Normal\]

Exemplo 10.1 Seja X(t) = \(Z_1 cos \lambda t\) + \(Z_2 sen \lambda t\), t \(\geq\) 0, sendo \(Z_1,Z_2\) VA’s iid N(\(\mu\),\(\sigma^2\)). Então:

\[\begin{equation} \begin{split} \sum \alpha_i X(t_i) &= \alpha_1 X(t_1) + \alpha_2 X(t_2) + ... + \alpha_n X(t_n)\\ &= \alpha_1[Z_1 cos \lambda t_1 + Z_2 sen \lambda t_1] + ... + \alpha_n[Z_1 cos \lambda t_n + Z_2 sen \lambda t_n]\\ &= [\alpha_1 cos \lambda t_1 + \alpha_2 cos \lambda t_2 + ... + \alpha_n cos \lambda t_n]Z_1 + [\alpha_1 cos \lambda t_1 + \alpha_2 cos \lambda t_2 + ... + \alpha_n cos \lambda t_n]Z_2\\ &= b_nZ_1 + c_nZ_2 ~ Normal \end{split} \end{equation}\]

Teorema 10.1 Seja {X(t), t \(\geq\) 0} um processo gaussiano fracamente estacionario. Então esse processo é (tambem estritamente) estacionario.

IDEIA DA PROVA: Se X(t) é Gaussiano, o processo Y(t) = X(t + \(\tau\)), \(\tau \in\) R é também gaussiano com mesma média e covariância de X(t). Ou seja a distribuição de X(t) e de X(t + \(\tau\)) é a mesma.