7 Trabalho 1
Considere que você precisa estabelecer o valor da aposta em um jogo que tem as seguites características. O jogador escolhe 3 números, dentre 100 números possíveis. O jogo consiste no sorteio de 3 números sem reposição. No caso do jogador acertar 1 número ele ganha um prêmio de R$ 10,00. No caso de acertar 2 números ele ganha R$ 100,00. Se ele acertar os 3 números ele recebe um prêmio R$ 100000,00. Se não houver o acerto de nenhum dos números ele nada recebe.
7.1 a
Defina X como sendo a variável aleatória “valor pago para um jogador em uma rodada do jogo”. Com base nesta definição calcule a distribuição de probabilidade de X, o valor esperado e a variância desta variável aleatória.
\[Y \sim Hiper(m,n,r) = \frac{\binom{m}{y} \binom{n-m}{r-y}}{\binom{n}{r}}\]
k \(\epsilon\) \(\mathbb{I}\) e max{0,r-(n-m)}\(\leq\) k \(\leq\) min{r,m}
Para as condições desse jogo temos então:
n = 100
m = 3
r = 3
y = número de acertos
n <- 100
m <- 3
r <- 3
y <- 0
p0 <- round(dhyper(y,m,n,r),5)
p0## [1] 0.91433y <- 1
p1 <- round(dhyper(y,m,n,r),5)
p1## [1] 0.08397y <- 2
p2 <- round(dhyper(y,m,n,r),5)
p2## [1] 0.0017y <- 3
p3 <- round(dhyper(y,m,n,r),5)
p3## [1] 0.00001\[\begin{array}{ccc} k & P[Y = y] & Ganho \\ 0 & 0.91433 & 0\\ 1 & 0.08397 & 10\\ 2 & 0.0017 & 100\\ 3 & 0.00001 & 100000 \end{array}\]
7.1.1
X \(\epsilon\) {0,10,100,100000}
\[P[X=x] = P[Y=y|m=3,n=100,r=3] = \frac{\binom{3}{y} \binom{97}{3-y}}{\binom{100}{3}}\]
7.1.2
ex <- round(p0 * 0 + p1 * 10 + p2 * 100 + p3 * 100000,2)
ex## [1] 2.01E[X] = \(\sum_{i=1}^{4}p_i x_i\) = 0 * 0.91433 + 10 * 0.08397 + 100 * 0.0017 + 100000 * 0.00001 = 2.01.
7.1.3
ex2 <- round(p0 * 0^2 + p1 * 10^2 + p2 * 100^2 + p3 * 100000^2,2)
ex2## [1] 100025varX <- round(ex2 - (ex^2),2)
varX## [1] 100021E[\(X^2\)] = \(\sum_{i=1}^{4}p_i x_i^2 = 0^2 \ast 0.91433 + 10^2 \ast 0.08397 + 100^2 \ast 0.0017 + 100000^2 \ast 0.00001 = 100025.4.\)
Var[X] = E[\(X^2\)] - \((E[X])^2\) = 100021.36
7.2 b
Considere que este jogo é jogado 10000 vezes por ano. Qual o valor esperado a ser pago, pela banca de premiação?
\[E[X] \ast n\]
n <- 10000
n * ex## [1] 201007.3 c
Defina-se um jogo como sendo justo, como sendo aquele em que o valor esperado do lucro da banca é igual a zero. Neste caso qual seria o valor da aposta a ser paga pelo jogador em jogo justo?
Seria o valor esperado de X.
\[E[X] = 2.01\]
7.4 d
Considere que um órgão legislador regulamente que o cassino deve ter um capital disponível U que permita garantir que haja uma probabilidade igual a 0,025 que ele venha a quebrar. A definição de “quebra” corresponde a situação em que o cassino não dispõem de capital para pagar o valor dos prêmios, no período de um ano, para o público alvo almejado de 10000 jogos. Se o valor dos prêmios a serem pagos for superior a soma de U com o valor arrecadado de apostas considera-se que houve quebra do cassino.
Assim sendo, se o cassino cobra o valor de aposta individual de R$ 1,64 qual deve ser o valor do capital disponível U para que a probabilidade de quebra seja igual a 0,025 nos 100000 jogos?
Pelo Teorema Central do Limite temos:
\[\frac{Sn - n\mu}{\sqrt{\sigma^2n}} \overset{dist}{\rightarrow} N(0,1)\]
Sendo:
Sn = U - c * n , onde c é o valor da aposta.
\(\mu\) = E[X]
\(\sigma\) = \(\sqrt{Var[X]}\)
temos então:
\[\frac{(U + c \ast n) - n \mu }{ \sqrt{Var[X]n}} = z\] \[U = z\sqrt{Var[X]n} + n\mu - cn\]
c <- 1.64 # aposta
z <- round(qnorm(1 - 0.025),2) # probabilidade de ruína de 0.025
# A valor da aposta em n jogos
A <- c * n
A## [1] 16400nu <- n*ex
nu## [1] 20100nsign <- sqrt(varX*n)
nsign## [1] 31626# Logo o capital de garantia é igual a
Ud <- z * nsign + nu - A
# Ud = U da questão d
Ud## [1] 65687\[U = 1.96 \ast 31626.15373 + 20100 - 16400\]
Temos então que para satisfazer a probabilidade de 0,025, com uma aposta de R$ 1,64 em 10000 jogos, temos que ter um capital disponível de R$ 65687.26132.
7.5 e
Se o valor da aposta individual for igual a R$ 1,64 e o capital disponível U for igual a R$ 52820,48, qual será a probabilidade de quebra da banca em 10000 jogos?
Pelo Teorema Central do Limite temos:
\[\frac{Sn - n\mu}{\sqrt{\sigma^2n}} \overset{dist}{\rightarrow} N(0,1)\]
temos então:
\[\frac{(U + c \ast n) - n \mu }{ \sqrt{Var[X]n}} = z\]
# Ue = U da questão e
Ue <- 52820.48
# ze = z da questão e
ze <- round(((Ue + A) - nu) / nsign,2)
ze## [1] 1.55\[z = \frac{(52820.48 + 16400) - 20100}{\sqrt{31626.15373}}\]
p <- round(1 - pnorm(ze),2)
p## [1] 0.06Logo a probabilidade de quebra é 0.06.
7.6 f
Se o capital for R$ 52820,48 qual deve ser o valor da aposa individual a ser cobrada de forma que se mantenha a probabilidade de quebra igual a 0,025 em 10000 jogos?
Pelo Teorema Central do Limite temos:
\[\frac{Sn - n\mu}{\sqrt{\sigma^2n}} \overset{dist}{\rightarrow} N(0,1)\]
temos então:
\[\frac{(U + c \ast n) - n \mu }{ \sqrt{Var[X]n}} = z\]
\[c = \frac{ z \sqrt{Var[X]n} + n\mu - U}{n}\]
cf <- round((z * nsign + nu - Ue) / n,2)
cf## [1] 2.93Logo o preço para que as condições sejam satisfeitas tem que ser de R$ 2.93.
7.7 g
Qual a probabilidade de lucro nos 10000 jogos, se o valor cobrado da aposta for de R$ 3,55?
\[ z = \frac{A - n\mu}{\sqrt{\sigma^2 n}}\]
# cg = aposta da questão g
cg <- 3.55
zg <- (cg*n - nu ) / nsign
probL <- pnorm(zg)
probL## [1] 0.68685Portanto a probabilidade de lucro é igual a 0.68685.
7.8 h
Com o valor da aposta individual a R$ 3,55 qual deve ser o capital disponível U, de forma que a probabilidade de “quebra” seja igual a 0.025 em 10000 jogos?
Pelo Teorema Central do Limite temos:
\[\frac{Sn - n\mu}{\sqrt{\sigma^2n}} \overset{dist}{\rightarrow} N(0,1)\]
\[\frac{(U + c \ast n) - n \mu }{ \sqrt{Var[X]n}} = z\]
\[U = z\sqrt{Var[X]n} + n\mu - cn\]
Uh <- z * nsign + nu - cg*n
Uh## [1] 46587Para satisfazer as condições o capital disponível deve ser de R$ 46587.26132.