9 Prova 1
Considere que se deseja estabelecer o prêmio comercial individual mensal em uma carteira composta por 5000 segurados independentes, onde cada segurado terá no máximo 1 sinistro por ano. Considere ainda que o valor de cada sinistro é igual a R$ 10000,00 e que a probabilidade de ocorrência de sinistro para um particular segurado no ano é igual a 0,02. Adicionalmente a companhia seguradora tem um capital de garantia de R$ 100000,00 e adota uma probabilidade de ruína igual a 0,03. Sabendo que a despesa administrativa adotada pela companhia é igual a 15%, que a despesa de comercialização praticada é igual a 20% e que a margem de lucro orçada para o acionista é igual a 10%, responda as questões, considerando o quadro abaixo.
\[\begin{array}{cccc} Y & P[Y=y] & P[Y \geq y] & P[Y \leq y] \\ 0&0&0&1\\ 1&0&0&1\\ 2&0&0&1\\ ...&...&...&...\\ 101&0.0399&0.5664&0.434\\ 102&0.0391&0.6055&0.394\\ 103&0.0379&0.6434&0.357\\ 104&0.0364&0.6799&0.32\\ 105&0.0347&0.7146&0.285\\ 106&0.0327&0.7472&0.253\\ 107&0.0305&0.7777&0.222\\ 108&0.0282&0.806&0.194\\ 109&0.0258&0.8318&0.168\\ 110&0.0234&0.8552&0.145\\ 111&0.0211&0.8763&0.124\\ 112&0.0188&0.8951&0.105\\ 113&0.0166&0.9117&0.088\\ 114&0.0145&0.9262&0.074\\ 115&0.0126&0.9387&0.061\\ 116&0.0108&0.9495&0.05\\ 117&0.0092&0.9587&0.041\\ 118&0.0078&0.9665&0.033\\ 119&0.0065&0.973&0.027\\ 120&0.0054&0.9784&0.022\\ ...&...&...&...\\ 5000&0&1&0 \end{array}\]
9.1 a
Determine o prêmio de risco.
Como o valor pago pela ocorrência de sinistros é constante e os segurados são independentes então utilanzo o resultado de (1.4).
c <- 10000 # valor do sinistro
N <- 5000 # Número de segurados
p <- 0.02 # probabilidade de ocorrer o sinistro
premiorisco <- c * N * p
premiorisco## [1] 1000000Logo o prêmio de risco da carteira é igual a R$ 1000000.
9.2 b
Para as condições definidas no enunciado determine o prêmio puro da carteira e o carregamento de segurança adotado.
\[ PP = \xi_\epsilon - U_0\]
U <- 100000 # capital de garantia
y <- 119
pp <- c * y - U
pp## [1] 1090000\[PP = 1090000\]
\[PP = P(1 + \lambda)\]
\[ \lambda = \frac{PP}{P} - 1\]
l <- (pp / premiorisco) - 1
l ## [1] 0.09\[\lambda = 0.09\]
9.3 c
Determine o prêmio comercial individual mensal (parcelamento em 12 meses).
DA = 0.15
CC = 0.2
L = 0.1
\[PC = \frac{PP}{1 - [DA + CC + L]}\]
da <- 0.15
da # despesa administrativa## [1] 0.15cc <- 0.2
cc # comissão de corretagem## [1] 0.2l <- 0.1
l # lucro por subscrição## [1] 0.1# preço comercial
pc <- pp / (1 - (da + cc + l))
pc## [1] 1981818\[PC = 1981818.18182\]
Como estamos interessados em saber o preço comercial invidual mensal em 1 ano, temos então que:
m = 12
N = 5000
\[PC_{i,m} = \frac{PC}{mN}\]
m <- 12
m # meses## [1] 12N # número de segurados## [1] 5000# Preço comercial individual
pci <- pc / (m * N)
pci## [1] 33.03\[PC_{i,m} = 33.0303\]
9.4 d
Nas condições do prêmio estabelecido na questão c) determine a probabilidade de lucro com a subscrição (lucro com os riscos, não envolvendo o lucro do acionista)
Vamos verificar quantos sinistros podemos pagar.
\[\xi = \frac{PP}{c}\]
pp # prêmio puro## [1] 1090000c # custo do sinistro## [1] 10000xi <- pp / c
xi## [1] 109\[P(Y < 109)\]
Olhamos na tabela, e concluímos que a probabilidade de lucro é de 0,8318.
9.5 e
Se for desejado um prêmio comercial com valor de 5% menor do que o calculado na quesao c) qual será a probabilidade de ruína se for mantida o capital de garantia de R$ 100000,00.
Vamos calcular o prêmio comercial atualizado.
\[PC \ast 0.95 = \bar{PC}\]
\[\bar{PC} = \frac{c \ast Y_\epsilon - U_0}{1 - [DA + CC + L]}\]
\[Y_\epsilon = \frac{\bar{PC}(1 - [DA + CC + L]) + U_0}{c}\]
pce <- 0.95 * pc
pce## [1] 1882727ye <- (pce * (1 - (da + cc + l)) + U) / c
ye## [1] 113.55\[P(Y > 113.55)\]
Verificando na tabela, concluímos que a probabilidade de ruína passa a ser de 0,088.
9.6 f
Em relação à questão e) se for mantidade a probabilidade de ruína de 0,03 qual deverá ser o capital de garantia a ser adotado?
\[\bar{PC} = \frac{cY_\epsilon - U_0}{1 - [DA + CC + L]}\]
\[U_0 = cY_\epsilon - \bar{PC}(1 -[DA + CC + L])\]
y # número de sinistros para a probabilidade de 0,03## [1] 119pcf <- c * y - pce * (1 - (da + cc + l))
pcf## [1] 154500\[U_0 = 154500\]
Logo o capital de garantia necessário para que se mantenha as condições estabelecidas é de R$ 154500.
9.7 g
Se a companhia mantiver o cpaital de garantia de R$ 100000,00, mantiver a probabilidade de ruína em 0,03 e praticar o prêmio comercial individual mensal igual a R$ 31,00, qual deverá ser a comissão de corretagem a ser adotada se forem mantidos os carregamentos de despesas administrativas em 15% e a margem de lucro em 10%?
\[PC_{i,m} = \frac{PP}{(1 - [DA + CC + L])mN}\]
\[PC_{i,m} = \frac{PP}{(1 - [DA+L])mN - CCmN}\]
\[CC = \frac{PC_{i,m}(1-[DA+L]mN)-PP}{PC_{i,m}mN}\]
pcig <- 31
ccg <- (pcig * (1 - (da + l)) * m * N - pp) / (pcig * m * N)
ccg## [1] 0.16398\[CC = 0.16398\]
9.8 h
Nas condições da questão g) qual o carregamento de segurança que está sendo adotado e qual a probabilidade de lucro com a subscrição (lucro com risco, não envolvendo o lucro do acionista)?
\[\lambda = \frac{PC_{i,m}(1 - [DA + CC + L])mN}{P} - 1\]
lh <- ((pcig * (1 - (da + cc + l)) * m * N) / premiorisco) - 1
lh## [1] 0.023\[\lambda = 0.023\]
9.9 i
Nas condições da questão g) preencha o quadro abaixo:
x <- pcig * m * N
DA <- paste0("R$ ", x * 0.15)
CC <- paste0("R$ ",x * 0.2)
L <- paste0("R$ ", x * 0.1)
PP <- paste0("R$ ", pp)
df <- data.frame("Conta" = c("Despesa administrativa",
"Comissão de corretagem",
"Lucro do acionista",
"Valor para pagamento de sinistros"),
"Valor Arrecadado" = c(DA,
CC,
L,
PP))
knitr::kable(df,col.names = c("Conta","Valor Arrecadado"))| Conta | Valor Arrecadado |
|---|---|
| Despesa administrativa | R$ 279000 |
| Comissão de corretagem | R$ 372000 |
| Lucro do acionista | R$ 186000 |
| Valor para pagamento de sinistros | R$ 1090000 |