5 Exercício 4

Considere 2 segurados independetes onde cada um deles poder ter no máximo 1 sinistro no período de 1 ano. O custo do sinistro é igual a c e a probabilidade de ocorrêcia de sinistro para cada um é igual a p. Qual o prêmio de risco da carteira com estes 2 segurados?

E[\(\xi\)] = E[c\(X_1\)] + E[c\(X_2\)] = cE[\(X_1\)] + cE[\(X_2\)] = cE[\(X_2\)]

\(X_i\) = \(\left\{\begin{matrix} 1 \rightarrow & p\\ 0 \rightarrow & 1-p \end{matrix}\right.\)

Usando o teorema da convolução:

P[\(Y_N\)=y] = \(\sum_{Y_N}\) P[\(Y_{N-1}\) = x - \(X_N\)]P[\(X_N\)=\(X_N\)]

Temos então que:

\(P[Y_{2}=0] = P[X_{1} = 0 - 0]P[X_{2} =0] + P[X_{1} = 0 -1]P[X_{2}=1] = (1-p)\ast(1-p) = (1- p)^2\)

\(P[Y_{2}=1] = P[X_{1} = 1 -0]P[X_{2}=0] +P[X_{1}=1-1]P[X_{2}=1] = p\ast(1-p) + (1-p)\ast p= 2p(1-p)\)

\(P[Y_{2}=2] = P[X_{1} = 2 -0]P[X_{2}=0] +P[X_{1}=2-1]P[X_{2}=1] = p \ast p= p^2\)

\[\begin{array}{cc} Y_2 & P[Y_2 = y]\\ 0 & (1-p)^2\\ 1 & 2p(1-p)\\ 2 & p^2 \end{array} \]

\[E[Y_{2}] = 0 \ast (1-p)^2 + 1 \ast 2p(1-p) + 2 \ast p^2 = 2p(1-p) + 2p^2 = 2p((1-p) + p) = 2p\]

Logo o prêmio de risco da carteira é:

\[E[\xi] = cE[Y_{2}] = c2p\]

Se estendermos o número de segurados chegaremos ao seguinte resultado:

\[ Y \sim Bin(n,p)\]