4 Exercício 3

Considere 2 segurados independentes os quais desejam fazer um seguro. O limite do número de sinistros para cada um deles é de 2 sinistros no ano. A probabilidade de 1 segurado vir a ter k sinistros em 1 ano é inversamente proporcional a k + 1. Já o 2 segurado a probabilidade de vir a ter k sinistros em 1 ano é inversamente proporcional a k+2. Qual a distribuição de probabilidade para o número de sinistros destes 2 segurados?

Para o segurado 1:

\[P[X_1=x_1] = \frac{c_1}{x_1 + 1}; x_1 = 0,1,2\]

Para o segurado 2:

\[P[X_2=x_2] = \frac{c_2}{x_2 + 1}; x_2 = 0,1,2\]

\[\begin{array}{cccc} X_1 & P[X_1=x_1] & X_2 & P[X_2=x_2] \\ 0 & c_1 & 0 & \frac{c_2}{2}\\ 1 & \frac{c_1}{2} & 1 & \frac{c_2}{3}\\ 2 & \frac{c_1}{3} & 2 & \frac{c_2}{4} \end{array}\]

Para descobrir o valor de \(c_1\) e \(c_2\) basta igualarmos a soma das probabilidades a 1.

Para o segurado 1 fica então:

\(c_1\) + \(\frac{c_1}{2}\) + \(\frac{c_1}{3}\) = 1

\(c_1\) = \(\frac{6}{11}\)

Para o segurado 2 fica então:

\(\frac{c_2}{2}\) + \(\frac{c_2}{3}\) + \(\frac{c_2}{4}\) = 1

\(c_2\) = \(\frac{12}{13}\)

Portanto:

\[\begin{array}{cccc} X_1 & P[X_1=x_1] & X_2 & P[X_2=x_2] \\ 0 & \frac{6}{11} & 0 & \frac{12}{26}\\ \\ 1 & \frac{6}{22} & 1 & \frac{12}{39}\\ \\ 2 & \frac{6}{33} & 2 & \frac{12}{52} \end{array}\]

E[\(X_1\)] = 0 * \(\frac{6}{11}\) + 1 * \(\frac{6}{22}\) + 2 * \(\frac{6}{33}\) = 0.63636

E[\(X_2\)] = 0 * \(\frac{12}{26}\) + 1 * \(\frac{12}{39}\) + 2 * \(\frac{12}{52}\) = 0.75923

Somando a quantidade máxima de sinistros de cada segurado obtemos a quantidade máxima de sinistros que podem ocorrer nesta carteira. O mesmo para a quantidade mínima de sinistros. Sendo assim teremos que usar o teorema da convolução para calcular a probabilidade do acontececimento de 0,1,2,3 e 4 sinistros.

Obs: \(X_1\) = \(Y_1\).

P[\(Y_2\) = \(y_2\)] = \(\sum_{Y_2}\) P[\(X_1\) = y - \(x_2\)] P[\(X_2\)=\(x_2\)]

P[\(Y_2\) = 0] = \(\sum_{0}^{2}\)P[\(X_1\) = -\(x_2\)]P[\(X_2\) = \(x_2\)]

= P[\(X_1\)=0]P[\(X_2\)=0] + P[\(X_1\) = -1]P[\(X_2\)=1] + P[\(X_1\)=-2]P[\(X_2\)=2]

= P[\(X_1\) = 0]P[\(X_2\)=0] = \(\frac{6}{11}\) \(\frac{6}{13}\) = 0.25175

P[\(Y_2\) = 1] = \(\sum_{0}^{2}P[X_{1}\) = 1 - \(x_2\)]P[\(X_2\)]

= P[\(X_1\) = 1]P[\(X_2\) = 0] + P[\(X_1\)= 0]P[\(X_2\)=1] + P[\(X_1\)= -1]P[\(X_2\) = 2]

= P[\(X_1\) = 1]P[\(X_2\) = 0] + P[\(X_1\)= 0]P[\(X_2\)=1]\

= \(\frac{3}{11}\frac{6}{13}\) + \(\frac{6}{11} \frac{4}{13}\) = 0.29371

\(P[Y_{2} = 2] = \sum_{0}^{2}P[X_{1}=2-x_{2}]P[X_{2}=x_{2}]\)

\(= P[X_{1}=2]P[X_{2}=0] + P[X_{1}=1]P[X_{2}=1] +P[X_{1}=0]P[X_{2}=2]\)

\(= \frac{2}{11} \frac{6}{13} + \frac{3}{11} \frac{4}{13} + \frac{6}{11}\frac{3}{13}\) = 0.29371

\(P[Y_{2}=3] = \sum_{0}^{2}P[X_{1}=3-x_{2}]P[X_{2}=x_{2}]\)

\(= P[X_{1}=3]P[X_{2}=0] + P[X_{1}=2]P[X_{2}=1] +P[X_{1}=1]P[X_{2}=2]\)

\(= P[X_{1}=2]P[X_{2}=1] +P[X_{1}=1]P[X_{2}=2] = \frac{2}{11}\frac{4}{13} + \frac{3}{11}\frac{3}{13}\) = 0.11888

\(P[Y_{2}=4] = \sum_{0}^{2}P[X_{1}=4-x_{2}]P[X_{2}=x_{2}]\)

= P[\(X_1\)=4]P[\(X_2\)=0] + P[\(X_1\)=3]P[\(X_2\)=1] +P[\(X_1\)=2]P[\(X_2\)=2]

= P[\(X_1\)=2]P[\(X_2\)=2] = \(\frac{2}{11} + \frac{3}{13}\) = 0.04196

\[\begin{array}{cc} Y_2 & P[Y_2=y] \\ 0 & 0.251785\\ 1 & 0.29371\\ 2 & 0.29371\\ 3 & 0.11888\\ 4 & 0.04196 \end{array}\]

Prêmio de Risco

E[\(Y_2\)] = 0 * 0.25175 + 1 * 0.29371 + 2 * 0.29371 + 3 * 0.11888 + 4 * 0.04196

Teorema

E[\(Y_2\)] = E[\(X_1\)] + E[\(X_2\)]

\[\begin{array}{ccc} Y_2 & P[Y_2 \leq y] & P[Y_2 \geq y]\\ 0 & 0.2517 & 0.7483\\ 1 & 0.5454 & 0.4536\\ 2 & 0.8391 & 0.1609\\ 3 & 0.9580 & 0.0420\\ 4 & 1 & 0 \end{array}\]