2 Exercício 1

Considere uma carteira em que se tenha o conhecimento que ocorrerão dois sinistros. Não sabemos de antemão, quais serão os montantes. Entretanto, temos conhecimento que esses montantes são independentes e cada um deles segue uma distribuição uniforme no intervalo [0,10].

2.1

A função de densidade de probabilidade da soma desses dois montantes.

\[ X_1 \sim U[0,10] = f_{X_1}(x_1)\left\{\begin{matrix}\frac{1}{10} ;& 0 \leq X_1 \leq 10\\ 0 & CC\end{matrix}\right.\]

\[X_2 \sim U[0,10] = f_{X_2}(X_2)\left\{\begin{matrix}\frac{1}{10} ;& 0 \leq X_2 \leq 10\\ 0 & CC\end{matrix}\right.\] Como são independentes:

\[f_{X_1 X_2}(X_1 X_2) = f_{X_1}(X_1)f_{X_2}(X_2)\]

\[f_{X_1 X_2}(X_1 X_2) = \frac{1}{10} \frac{1}{10} = \frac{1}{100}\]

\[f_{X_1 X_2}(X_1 X_2) = \left\{\begin{matrix}\frac{1}{100} ;& \begin{matrix}0 \leq X_1 \leq 10\\0 \leq X_2 \leq 10\end{matrix}\\ 0 & CC\end{matrix}\right.\]

Usando o teorema da convolução temos que:

\[f_{Y_{2}}(y) = \int_{-\infty}^{\infty}f_{Y_{1}}(y-X_{2})f_{X_{2}}(X_{2})dX_{2} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{10} \ast \frac{1}{10} dX_{2} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{100} dX_{2}\]

Com \(X_2\) variando de 0 \(\leq\) \(X_2\) \(\leq\) 10 e \(Y_1\) = \(X_1\) variando de 0\(\leq\) x- \(X_2\) \(\leq\) 10.

O valor mínimo que \(X_{2}\) pode assumir é 0 e o valor máximo é 10
\(X_2\) \(\leq\) x \(\leq\) 10 + \(X_2\).

Assim quando \(X_2\) = 0, x varia de: 0 \(\leq\) x \(\leq\) 10.

Assim quando \(X_2\) = 10, x varia de: 10 \(\leq\) x \(\leq\) 20

\(= \left\{\begin{matrix}\int_{0}^{x} \frac{1}{100} \ \ ; & 0 \leq x \leq 10 \\ & \\\int_{x-10}^{10} \frac{1}{100} \ \ ; & 10 \leq x \leq 20\end{matrix}\right.\)

Integrando cada uma das partes, temos que:

\[f_{Y_2}(y) = \int_{0}^{x} \frac{1}{100} dX_2 = \frac{1}{100} \int_{0}^{x}dX_2 = \frac{1}{100} x = \frac{x}{100}\]

\[f_{Y_2}(x) = \int_{x-10}^{10} \frac{1}{100} dX_{2} = \frac{1}{100} \int_{x-10}^{10}dX_{2} = \frac{1}{100} [X]_{x-10}^{10} = \frac{1}{100} [(10) - (x-10)]\]

\[= \frac{1}{100} (20-x) = \frac{20-x}{100}\]

Logo a função de densidade de probabilidade da soma dos dois montantes é:

\[f_{Y_{2}}(y) \left\{\begin{matrix}\frac{x}{100} \ \ ; & 0\leq x \leq 10 & \\ \\\frac{20-x}{100} \ \ ; & 10 \leq x \leq 20\end{matrix}\right.\]

2.2

O valor esperado da soma.

\[E[\xi] = \int_{0}^{10}\frac{x}{100}xdx + \int_{10}^{20} \frac{20-x}{100}xdx\]

\[ = \frac{1}{100} [\frac{x^3}{3}]_{0}^{10} + \frac{1}{100} ([\frac{20x^2}{2}]_{10}^{20} - [\frac{x^3}{3}]_{10}^{20})\]

\[ = 3.33333 + \frac{1}{100}(3000 - 2333.3333 ) = 3.3333 + 6.6667 = 10\]

\[E[Y] = 10\]

2.3

A variância dessa soma.

\[Var[\xi] = E[\xi^2] - (E[\xi])^2\]

\(E[\xi]= 10\)

\(E[\xi^2] = ?\)

E[\(\xi^2\)] = \(\int_{0}^{10}\frac{x}{100}x^2dx\) + \(\int_{10}^{20} \frac{20-x}{100}x^2dx\) = \(\int_{0}^{10}\frac{x^3}{100}dx\) + \(\int_{10}^{20} \frac{20x^2-x^3}{100}dx\) = \(\frac{1}{100} [\frac{x^4}{4}]_{0}^{10} + \frac{1}{100}([\frac{20x^3}{3}]_{10}^{20} [\frac{x^4}{4}]_{10}^{20})\)

= 25 + \(\frac{1}{100}\)(46666.6667 - 37500) = 25 + 92.6667 = 116.6667

Logo:

Var[\(\xi\)] = 116.6667 - \((10)^2\) = 16.6667.

2.4

A seguradora deseja ter uma reserva de forma que haja 1% de chance que ela não possa pagar estes 2 sinistros. Qual é o valor?

\[P[Y_2 \geq Y_{\epsilon}] = \epsilon\]

P[\(Y_2 \geq y_{0.01}\)] = 0.01

Como queremos verificar a chance de 1% de que a seguradora venha a quebrar, vamos então calcular usando \(f_{Y_2}\)(x) = \(\int_{y_0.01}^{20} \frac{20-x}{100}\) ; 10 \(\leq\) x \(\leq\) 20 , pois a outra parte representa 0.5 de probabilidade de que a seguradora venha quebrar. Por esse motivo utilizaremos a outra expressão.

\(= \int_{y_{0.01}}^{20}f_{Y_{2}}(y)dx = \int_{y_{0.01}}^{20} \frac{20-x}{100} dx = \frac{1}{100}([20x]_{y_{0.01}}^{20} - [\frac{x^2}{2}]_{y_{0.01}}^{20})\)

= \(\frac{1}{100}(400-20y_{0.01} - (200 -\frac{y_{0.01}^{2}}{2}))\)

= \(\frac{1}{100}\) (\(\frac{y_{0.01}^{2}}{2}\) - \(20y_{0.01}\) +200) = \(\frac{1}{100} (\frac{y_{0.01}^{2} -40y_{0.01} +400}{2})\)

= \(\frac{y_{0.01}^{2}-40y_{0.01} + 400}{200}\) = 0.01

\(y_{0.01}^{2}\) -40\(y_{0.01}\) + 400 = 2

\(y_{0.01}\) = 21.41 ou \(y_{0.01}\) = 18.58

Como 21.41 cobre as possibilidades então a resposta é 18.58.