6 Exercicío 5

Considere um produto composto por N segurados independetes que fazem a contratação de um seguro por um período de um ano. A condição do contrato determina que cada segurado poderá ter no máximo 1 sinistro por ano. Seja p a probabilidade de ocorrência do sinistro, a qual é a mesma para todos segurados. Considere ainda que quando ocorre o sinistro o valor a ser indenizado, c, será igual e constante para todos os sinistros. Seja \(\lambda\) o carregamento de segurança adotado pela segurado e seja \(U_0\) o capital de garantia disponível. Ainda, seja \(\epsilon\) a probabilidade de ruína aceitável pela seguradora. Com base nessas informações determina a equação fundamental da teoria do risco.

\[\begin{array}{cc} \xi =& \text{montante agregado}\\ N =& \text{numero de segurados}\\ p =& \text{probabilidade de sinistro}\\ c =& \text{indenizacoes}\\ \epsilon =& \text{probabilidade de ruina}\\ U_0 =& \text{capital de garantia} \end{array}\]

Independentes e 1 seguro por 1 ano.

\[X_N \epsilon [0,1,...N]\]

\(x_i\) = \(\left\{\begin{matrix} 1 \rightarrow & \text{se o i-esimo segurado tem sinistro} \\ 0 \rightarrow & \text{se o i-esimo segurado nao tem sinistro} \end{matrix}\right.\)

\[X_i \sim \text{Bernoulli(p) onde p =P}[Z_i=\frac{1}{p}]\] \[Y_N \sim Bin(N,p)\]

Para isso utilizaremos o resultado (1.1)

\[\begin{equation} \begin{split} P[U_t <0] &= \epsilon \\ P[U_0 + PP - \xi < 0] &= \epsilon \\ P[U_0 + P(1 + \lambda) - \xi < 0] &= \epsilon \\ P[\xi > U_0 + P(1 + \lambda)] &= \epsilon \end{split} \end{equation}\]

O prêmio (P) é dado por:

\[P=E[\xi]=E[cY_N]=cE[Y_N]=cNp\]

Logo temos que:

\[\begin{equation} \begin{split} P[cY_N > U_0 + cNp(1 +\lambda)] = \epsilon \\ P[Y_N > \frac{U_0}{c} + Np(1 + \lambda)] = \epsilon \end{split} \tag{6.1} \end{equation}\] \[\begin{equation} \begin{split} P[Y_N = y] &= \binom{N}{y}p^y(1-p)^{N-y}\\ P[Y_N \leq y_{1- \epsilon}] &= \sum_{y=0}^{y_{1- \epsilon}} \binom{N}{y}p^y(1-p)^{N-y}\\ P[Y_N \geq y_{1- \epsilon}] & \cong 1 - P[Y_N \leq y_{1- \epsilon}]\\ \end{split} \tag{6.2} \end{equation}\]

igualando (6.1) com (6.2)

\(y_{\epsilon}\) = soma da probabilidade de \(\epsilon\)

Temos então os seguintes resultados:

\[\begin{equation} y_{\epsilon} = \frac{U_0}{c} + Np(1 + \lambda) \rightarrow \text{Determina a probabilidade de ruína} \tag{6.3} \end{equation}\] \[\begin{equation} U_0 = [y_{\epsilon} - (1 + \lambda)P]c \rightarrow \text{Determina o capital de garantia.}\\ \tag{6.4} \end{equation}\]

Se \(\lambda\) cresce entao \(U_0\) diminui. (Quanto o acionista tem que por de dinheiro)

\[\begin{equation} \lambda = \frac{y_{\epsilon} - \frac{U_0}{c}}{Np} - 1 \rightarrow \text{ Determina o carregamento de segurança.} \tag{6.5} \end{equation}\]

Se c cresce então \(\lambda\) diminui.

\[\begin{equation} c = \frac{U_0}{y_{\epsilon} - (1 + \lambda) Np} \rightarrow \text{ Determina o valor da indenização} \tag{6.6} \end{equation}\]

Se \(U_0\) cresce então c diminui.

OBS

Os resultados devem ser apresentados com das casas decimais, com excessão da distribuição de probabilidade de X que deve ser apresentada com 5 casas decimais.